درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی
درس 3: تابع نمایی
فعالیت (صفحه 95 تا 96 کتاب درسی)
«بنیاد ملی بازیهای رایانهای» با هدف تبیین، تقویت و ترویج مبانی فرهنگ و هویت ایرانی - اسلامی و حمایت کامل از ظرفیتهای موجود صنعت بازیهای رایانهای، از سال 1385 شروع به کار کرده و تاکنون تولیدات خوبی داشته است.
یکی از تولیدات این بنیاد، «محموعهٔ بازیهای سبز» است که قرار است دانشآموز را در قالب بازی، به آموزش و نگهداری از منابع و ترویج فرهنگ درخت کاری هدایت کند. بازی به این صورت است که در شروع بازی یک امتیاز به بازیکن داده میشود. اگر بازیکن بتواند در طول بازی در مرحلهٔ اوّل، یکی از عوامل آلوده کنندهٔ محیطزیست را شناسایی و نابود کند، 3 امتیاز میگیرد. در مرحلهٔ دوم، اگر بازیکن بتواند عامل دیگری را که باعث تخریب محیطزیست میشود شناسایی و نابود کند، 9 امتیاز میگیرد و به همین ترتیب در مرحلهٔ بعد، 27 امتیاز، در مرحلهٔ بعد از آن 81 امتیاز و... خواهد گرفت. بازی زمانی تمام میشود که بازیکن به امتیاز 43046721 برسد. اکنون به سؤالات زیر پاسخ دهید.
1) فکر میکنید در مرحلهٔ ششم، بازیکن چند امتیاز خواهد گرفت؟
برای یافتن پاسخ، جدول زیر را کامل کنید.
| تعداد مراحل بازی | میزان امتیازهای کسب شده |
|---|---|
| 0 | ${3^0} = 1$ |
| 1 | ${3^1} = 3$ |
| 2 | ${3^2} = 9$ |
| 3 | ${3^3} = 27$ |
| 4 | $?$ |
| $?$ | 243 |
| 6 | $?$ |
| 7 | $?$ |
| 8 | $?$ |
| 9 | $?$ |
| 10 | $?$ |
2) در کدام مرحله، میزان امتیازات کسب شده 6561 خواهد شد؟
3) آیا اعداد این جدول، الگویی را مشخص میکند؟ بین تعداد مراحل بازی و میزان امتیازات کسب شده، رابطهای بهدست آورید.
4) با توجه به رابطهٔ بهدست آمده در قسمت قبل، آیا میتوانید امتیازات کسب شده در مراحل دهم، بیستم و یا مرحلهٔ $n$ام را بهدست آورید؟
فعالیت (صفحه 96 تا 97 کتاب درسی)
در بخش دنبالهها، با توجه به مثلث خیام و اعداد واقع در این مثلث، الگویی را بهدست آوردیم که بهعنوان تابع از ضابطهٔ $f(n) = {2^n}$ پیروی میکرد. دوباره به این فعالیت برمیگردیم؛
1) مقادیر بهدست آمده در آن فعالیت را در جدولی تنظیم کنید و نقاط به دست آمده را روی دستگاه مختصات زیر نمایش دهید.
2) جدول زیر را با ماشین حساب کامل کردهایم. این نقاط را نیز در دستگاه مختصات بالا نشان دهید.
| ${2^x}$ | $x$ |
| 1 | 0 |
| 0/707 | $ - \frac{1}{2}$ |
| 0/500 | 1- |
| 0/353 | $ - \frac{3}{2}$ |
| 0/250 | 2- |
3) اگر مقادیر تابع $f(x) = {2^x}$ را برای $x$های دیگر نبز بهدست آوریم، نمودار تابع $f(x) = {2^x}$ بهصورت زیر خواهد بود:
تذکر: حرف $a$ معرف پایه و حرف $x$ معرفِ نما یا توان است. با نمادهای تعریف شده در سال دهم برای یک تابع، میتوان تابع نمایی $f$ را بهصورت زیر تعریف کرد:
$f:{\Bbb R} \to {{\Bbb R}^ + }$
منظور از ${{\Bbb R}^ + }$، مجموعهٔ $\left\{ {x|x \in {\Bbb R}\,,\,x \gt 0} \right\}$ است.
$f(x) = {a^x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(a \gt 0\,,\,a \ne 1)$
فعالیت (صفحه 97 تا 98 کتاب درسی)
الف) در فعالیت ابتدای این درس با تابع نمایی $y = {3^x}$ آشنا شدید. نقاط $y$ حاصل شده در جدول صفحهٔ بعد را روی محورهای مختصات بهدست آورید. سپس آنها را به هم وصل کنید.
| محاسبهٔ $y$ با استفاده از ماشین حساب تا سه رقم اعشار | $y$ | ${3^x}$ | $x$ |
| 0/111 | $\frac{1}{9}$ | ${3^{ - 2}}$ | 2- |
| 0/192 | $\frac{1}{{3\sqrt 3 }}$ | ${3^{ - \frac{3}{2}}}$ | $ - \frac{3}{2}$ |
| 0/333 | $\frac{1}{3}$ | ${3^{ - 1}}$ | 1- |
| 0/577 | $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$ | ${3^{ - \frac{1}{2}}}$ | $ - \frac{1}{2}$ |
| 1 | 1 | ${3^0}$ | 0 |
| 1/732 | $\sqrt 3 $ | ${3^{\frac{1}{2}}}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 3 | 3 | ${3^1}$ | 1 |
| 5/196 | $3\sqrt 3 $ | ${3^{\frac{3}{2}}}$ | $\frac{3}{2}$ |
| 9 | 9 | ${3^2}$ | 2 |
همانگونه که دیده میشود، نمودار تابع $y = {3^x}$ در نقطهٔ یک محور $y$ها را قطع میکند.
ب) با استفاده از نمودار تابع $y = {3^x}$، مقدار تقریبی عدد ${3^{\frac{5}{2}}}$ را بهدست آورید.
پ) نمودار توابع $y = {2^x}$، $y = {3^x}$ و $y = {4^x}$ را در یک دستگاه رسم کردهایم. ابتدا مشخص کنید کدام نمودار بیانگر هر یک از توابع فوق است. سپس، تفاوتها و شباهتهای بین این سه تابع را بیان کنید.
فعالیت (صفحه 99 کتاب درسی)
یک صفحه کاغذ سفید را انتخاب کنید و آن را به دو قسمت مساوی تا بزنید. بعد از تا زدن، دو ناحیه به وجود میآید که مساحت هر یک، نصف مساحت اولیه است. اکنون کاغذ تا شده را یک بار دیگر تا بزنید. در دومین تا زدن، چهار ناحیه ایجاد میشود که مساحت هر کدام از آنها، نصف مساحت قبلی، یعنی $\frac{1}{4}$ مساحت اولیه است. در جدول زیر چگونگی تغییر مساحت ناحیههایی که بر اثر تا زدنهای متوالی ایجاد میشوند، نشان داده شده است.
| تعداد تا زدنها | میزان مساحت هر یک از ناحیهها |
| 0 | 1 |
| 1 | $\frac{1}{2}$ |
| 2 | $\frac{1}{4}$ |
| 3 | $\frac{1}{8}$ |
| 4 | ؟ |
| ؟ | $\frac{1}{32}$ |
| . . . |
. . . |
| 8 | ؟ |
| ؟ | $\frac{1}{1024}$ |
با توجه به اعداد جدول بالا، چه الگویی را میتوانید پیشنهاد دهید؟
در نمودار زیر، رابطهٔ تعداد تا زدنها و میزان مساحت هر یک از ناحیه ها نمایش داده شده است.
نقطهٔ تقاطع منحنی با محور $y$ها چیست؟
فعالیت (صفحه 100 کتاب درسی)
1) تابع $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ را در نظر بگیرید و با استفاده از ماشین حساب، جدول زیر را کامل کنید.
| محاسبهٔ $y$ با ماشین حساب تا 3 رقم اعشار | $y$ | ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ | $x$ |
| 4 | 4 | ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}}$ | 2- |
| ${ - \frac{3}{2}}$ | |||
| 1- | |||
| ${ - \frac{1}{2}}$ | |||
| 0 | |||
| ${\frac{1}{2}}$ | |||
| 1 | |||
| ${\frac{3}{2}}$ | |||
| 2 |
2) نقاط به دست آمده در جدول بالا را روی صفحهٔ مختصات بهدست آورید و به هم وصل کنید. آیا میتوانید به کمک نمودار، مقدار تابع ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ را برای هر عدد دلخواه $x$ حدس بزنید؟
3) نمودار تابع $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ را با نمودار تابع $y = {2^x}$، که در فعالیتهای قبلی رسم کرده بودید، مقایسه کنید. چه تفاوت اساسی بین این دو نمودار ملاحظه میکنید؟
کار در کلاس (صفحه 101 کتاب درسی)
تابع نمایی $f(x) = {a^x}$ را در نظر بگیرید. با انتخاب عدد $(a > 1)a$، نمودار $f(x)$ را رسم کنید. نمودار $g(x) = {(\frac{1}{a})^x}$ را در همان صفحهٔ مختصات رسم کنید. دو نمودار حاصل را با هم مقایسه کنید.
تمرین (صفحه 101 تا 102 کتاب درسی)
1) در پژوهشکدهٔ رویان وابسته به جهاد دانشگاهی، سلولهای بنیادی جنین انسان تولید میشود. این سلولها قابلیت تکثیر نامحدودی دارند و میتوانند تمام انواع سلولهای بدن نظیر عصب و ماهیچهٔ قلب را بهوجود آورند. در شکل زیر، روند تکثیر سلول بنیادی جنین در سه مرحله نشان داده شده است.
اگر روند تکثیر سلول بنیادی جنین مانند شکل بالا، ادامه پیدا کند:
الف- پس از چند مرحله، تعداد سلولهای تکثیر شده 2048 سلول خواهد شد؟
ب- در مرحلهٔ هشتم، چه تعداد سلول تکثیر شده است؟
پ- آیا میتوانید الگویی برای تکثیر سلولها مشخص کنید؟
2) یک نمونهٔ واقعی (شبیه به تمرین یک) بیان کنید که از الگوی تابع نمایی پیروی کند.
3) در شکل زیر، نمودار دو تابع $y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ و $y = {4^x}$ رسم شده است. مشخص کنید هر نمودار مربوط به کدام تابع است.
|
|
|
4) نمودار توابع $y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ و $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ و $y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}$ را در یک دستگاه (صفحهٔ مختصات) رسم کنید و تفاوتها و شباهتهای آنها را برشمرید.
5) نمودار توابع $y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$ و $y = {3^x}$ را در یک دستگاه رسم کنید و سپس، آنها را با یکدیگر مقایسه کنید.
رشد و زوال نمایی
در این قسمت یکی از کاربردهای مهم توابع نمایی را بررسی میکنیم. ابتدا رشد نمایی را مورد توجه قرار میدهیم:
فعالیت (صفحه 102 تا 103 کتاب درسی)
احسان هفده ساله است. پدرش قصد دارد مبلغ ده میلیون تومان برای او سرمایهگذاری کند. او با توجه به اینکه سال 1397 به فرمودهٔ رهبر معظم انقلاب اسلامی سال «حمایت از کالای ایرانی» نامگذاری شده است، تصمیم گرفته است که این مبلغ را در یک شرکت تولیدکنندهٔ کالای ایرانی سرمایهگذاری کند. این شرکت اعلام کرده است که در پاسخ به اعتماد سرمایهگذاران به فعالیتهای تولیدیاش، در پایان هر سال، 14 درصد سود علیالحساب به آنان پرداخت خواهد کرد.
جدول زیر را در نظر بگیرید؛
| سن احسان | مبلغ سرمایهگذاری شده در شرکت تولیدی |
| 17 | 10,000,000 تومان |
| 18 | |
| 19 | |
| ++ | |
| 23 |
برای تکمیل جدول بالا، ابتدا مبلغ سرمایهگذاری شده در 18 سالگی احسان (یک سال بعد از سپردهگذاری در شرکت) را بهدست آورید.
$10,000,000 + \left( {.... \times \frac{{14}}{{100}}} \right) = .... + 1,400,000 = 11,400,000$
بنابراین، در جدول بالا، باید در سطر دوم عدد $11,400,000$ گذاشته شود.
اکنون سطر سوم جدول را محاسبه کنید.
در واقع، باید میزان مبلغ سپردهگذاری شده در 18 سالگی احسان را در نظر بگیریم و بر اساس سود 14 درصد، مبلغ جدید سپردهگذاری شده را در 19 سالگی او (دو سال پس از سرمایهگذاری اولیه) بهدست آوریم:
$11,400,000 + .... = ... + .... = ....$
همانگونه که ملاحظه میکنید، میزان موجودی در 19 سالگی احسان بهصورت زیر خلاصه میشود:
$10,000,000 \times {(1/14)^2} = 12,996,000$
با توجه به فرمول فوق، میزان موجودی را در 23 سالگی احسان بهدست آورید و جدول بالا را کامل کنید.
بنابراین در فعالیت بالا، معادلهٔ کلی که بیانگر مبلغ سرمایهگذاری پس از $t$ سال است، بهصورت زیر محاسبه میشود:
$f(t) = 10,000,000 \times {(1 + 0/14)^t}$
کار در کلاس (صفحه 103 کتاب درسی)
در ابتدای سال 1990 میلادی، جمعیت کرهٔ زمین حدود 5/2 میلیارد نفر بوده است. اگر رشد جمعیت بهصورت نمایی و با ضریب ثابت 2 درصد در سال باشد، پس از 30 سال جمعیت کرهٔ زمین به چند میلیارد نفر خواهد رسید؟ پس از 35 سال، 70 سال و 105 سال جمعیت کرهٔ زمین چه میزان خواهد شد؟ با توجه به محاسبات بالا، آیا میتوانید وضع جمعیت کرهٔ زمین را در هر دورهٔ زمانی 35 ساله مقایسه کنید؟ چه نتیجهای میگیرید؟
زوال نمایی
اگر مقدار تابع پس از گذشت زمان کاهش یابد، به آن مسئله زوال میگوییم. حال اگر تابع مورد نظر تابع نمایی باشد، میتوان صحبت از زوال نمایی کرد.
مثال: جمعیت کشوری، در سال 2000 میلادی حدود چهل میلیون نفر برآورد شده است. اگر رشد جمعیت این کشور با نرخ یک درصد در حال کاهش باشد، جمعیت آن در سال 2018 میلادی چند نفر خواهد بود؟
حل: با جایگذاری $c$، $r$ و $t$ در معادلهٔ کلی زوال نمایی، جمعیت این کشور در سال 2018 میلادی برابر است با:
$y = 40,000,000{(1 - 0/01)^{18}} = 3,338,600$
تمرین (صفحه 104 کتاب درسی)
1) در یکی از فعالیتهای بخش اوّل این درس، به یک شرکت تولیدکنندهٔ محصولات فرهنگی اشاره کردیم. اگر یکی از سهامداران این شرکت، در سال 1397 مبلغ چهل میلیون تومان در این شرکت سرمایهگذاری کند، پس از ده سال چه مبلغی به سرمایهٔ این سهام دار اضافه خواهد شد؟
2) جمعیت شهری یک میلیون نفر است. اگر رشد جمعیت به صورت نمایی و با ضریب ثابت 6 درصد در سال باشد، جمعیت این شهر پس از ده سال چند نفر خواهد شد؟
3) جزیرهای پر از موش شده بود. مسئولان تصمیم گرفتند به کمک گربهها با موشها مقابله کنند. در آن سال، جمعیت موشها 23576 بود که پس از مبارزه با آنها، این تعداد با نرخ 2/5 درصد در سال رو به کاهش گذاشت. در همان سال، جمعیت گربهها 15786 بود که با نرخ 1/8 درصد در سال رو به افزایش گذاشت.
الف- در یک جدول، جمعیت موشها را در 10 سال متوالی بهدست آورید.
ب- همین کار را برای جمعیت گربهها طی 10 سال متوالی انجام دهید.
پ- آیا میتوانید حدس بزنید که در چه زمانی جمعیت گربهها بیشتر از موشها میشود؟
ت- آیا میتوانید حدس بزنید که در چه زمانی جمعیت موشها و گربهها با یکدیگر برابر میشود؟
ث- اگر همین روند ادامه پیدا کند، برای جمعیت گربهها و موشها چه اتفاقی میافتد؟